対偶による証明（整数の偶奇）（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 対偶による証明（整数の偶奇）（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$m$，$n$ は整数とする．対偶を考えることにより，次の命題を証明せよ．
\[ mn \text{ が偶数ならば，} m,\ n \text{ の少なくとも一方は偶数である} \]
対偶「$m$，$n$ がともに奇数ならば $mn$ は奇数である」を証明する．
$m=2a+1$，$n=2b+1$（$a$，$b$ は整数）と表すと
\[ mn=4ab+2a+2b+1=2(2ab+a+b)+1 \]
$2ab+a+b$ は整数であるから $mn$ は奇数である．
対偶が真であるから，もとの命題も真である．
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