「p ならば q」の否定命題（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 「p ならば q」の否定命題（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
次の命題の否定を述べよ．また，もとの命題とその否定の真偽をそれぞれ答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] すべての自然数 $n$ について，$n^2$ が偶数ならば $n$ は偶数
\item[(2)] すべての正の実数 $x$ について，$x+\dfrac{1}{x}\geqq 2$
\item[(3)] すべての実数 $x$，$y$ について，$xy$ が有理数ならば $x$，$y$ はともに有理数
\end{enumerate}
(1) 否定：ある自然数 $n$ について，$n^2$ が偶数 かつ $n$ が奇数
$n$ が奇数のとき $n=2k+1$（$k$ は 0 以上の整数）とおくと $n^2=2(2k^2+2k)+1$ は奇数であるから，否定を満たす $n$ はない．もとの命題は真，否定は偽
(2) 否定：ある正の実数 $x$ について，$x+\dfrac{1}{x}<2$
$x>0$ のとき $x+\dfrac{1}{x}-2=\dfrac{(x-1)^2}{x}\geqq 0$ であるから，もとの命題は真，否定は偽
(3) 否定：ある実数 $x$，$y$ について，$xy$ が有理数 かつ「$x$ または $y$ が無理数」
$x=y=\sqrt{2}$ とすると $xy=2$ は有理数で，$x$ は無理数であるから，否定は真，もとの命題は偽
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