「p ならば q」の否定命題（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 「p ならば q」の否定命題（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
次の命題の否定を述べよ．また，もとの命題とその否定の真偽をそれぞれ答えよ．ただし，$x$，$y$ は実数とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] すべての $x$ について，$x>1$ ならば $x^2>1$
\item[(2)] すべての $x$，$y$ について，$x+y\geqq 2$ ならば「$x\geqq 1$ または $y\geqq 1$」
\item[(3)] すべての $x$ について，$x^2=1$ ならば $x=1$
\end{enumerate}
「すべての $x$ について，$p$ ならば $q$」の否定は「ある $x$ について，$p$ かつ $\overline{q}$」である．
(1) 否定：ある $x$ について，$x>1$ かつ $x^2\leqq 1$
$x>1$ のとき $x^2-1=(x+1)(x-1)>0$ より $x^2>1$ であるから，もとの命題は真，否定は偽
(2) 否定：ある $x$，$y$ について，$x+y\geqq 2$ かつ $x<1$ かつ $y<1$
$x<1$，$y<1$ ならば $x+y<2$ となるので，否定を満たす $x$，$y$ はない．もとの命題は真，否定は偽
(3) 否定：ある $x$ について，$x^2=1$ かつ $x\neq 1$
$x=-1$ がこれを満たすので，否定は真，もとの命題は偽
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