「任意の」「存在する」の否定をつくる（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 「任意の」「存在する」の否定をつくる（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の命題の否定を述べよ．また，もとの命題とその否定の真偽をそれぞれ答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] すべての実数 $x$ について $x^2-4x+5>0$
\item[(2)] ある実数 $x$ について $x^2<x$
\item[(3)] すべての自然数 $n$ について $n^2\geqq n+1$
\end{enumerate}
(1) 否定：ある実数 $x$ について $x^2-4x+5\leqq 0$
$x^2-4x+5=(x-2)^2+1>0$ であるから，もとの命題は真，否定は偽
(2) 否定：すべての実数 $x$ について $x^2\geqq x$
$x=\dfrac{1}{2}$ のとき $x^2=\dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{2}$ であるから，もとの命題は真，否定は偽
(3) 否定：ある自然数 $n$ について $n^2<n+1$
$n=1$ のとき $n^2=1<2=n+1$ であるから，もとの命題は偽，否定は真
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