「任意の」「存在する」の否定をつくる（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 「任意の」「存在する」の否定をつくる（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の命題の否定を述べよ．また，もとの命題とその否定の真偽をそれぞれ答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] すべての実数 $x$ について $x^2>0$
\item[(2)] ある実数 $x$ について $x^2-2x+3=0$
\item[(3)] ある自然数 $n$ について $n^2=2n$
\end{enumerate}
「すべての $x$ について $p$」の否定は「ある $x$ について $\overline{p}$」，「ある $x$ について $p$」の否定は「すべての $x$ について $\overline{p}$」である．
(1) 否定：ある実数 $x$ について $x^2\leqq 0$
もとの命題は偽（$x=0$ で $x^2=0$），否定は真
(2) 否定：すべての実数 $x$ について $x^2-2x+3\neq 0$
$x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0$ であるから，もとの命題は偽，否定は真
(3) 否定：すべての自然数 $n$ について $n^2\neq 2n$
$n=2$ のとき $n^2=4=2n$ であるから，もとの命題は真，否定は偽
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