反例をあげて偽を示す（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 反例をあげて偽を示す（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の命題の真偽を答えよ．真であるときは証明し，偽であるときは反例をあげよ．ただし，$x$，$y$ は実数とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $x>y$ ならば $x^2>y^2$
\item[(2)] 「$xy>0$ かつ $x+y>0$」ならば「$x>0$ かつ $y>0$」
\item[(3)] 四角形の 2 本の対角線が垂直に交わるならば，その四角形はひし形である
\item[(4)] $x$，$y$ が有理数で $x+y\sqrt{2}=0$ ならば $x=y=0$
\end{enumerate}
(1) 偽．反例 $x=1$，$y=-2$（$x>y$ であるが $x^2=1<4=y^2$）
(2) 真．$xy>0$ より $x$，$y$ は同符号である．両方が負ならば $x+y<0$ となり $x+y>0$ に反するので，$x>0$ かつ $y>0$
(3) 偽．反例：たこ形（例えば 4 点 $(0,2)$，$(1,0)$，$(0,-1)$，$(-1,0)$ を頂点とする四角形は，対角線が垂直に交わるが 4 辺の長さが等しくない）
(4) 真．$y\neq 0$ と仮定すると $\sqrt{2}=-\dfrac{x}{y}$ となり，右辺は有理数であるから $\sqrt{2}$ が無理数であることに矛盾する．よって $y=0$ で，このとき $x=0$
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