反例をあげて偽を示す（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 反例をあげて偽を示す（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
次の命題の真偽を答えよ．真であるときは証明し，偽であるときは反例をあげよ．ただし，$x$，$y$ は実数，$n$ は整数とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $x^2=x$ ならば $x=1$
\item[(2)] $x+y>2$ ならば「$x>1$ または $y>1$」
\item[(3)] $x$，$y$ がともに無理数ならば $xy$ は無理数
\item[(4)] $n^2$ が $3$ の倍数ならば $n$ は $3$ の倍数
\end{enumerate}
(1) 偽．反例 $x=0$（$0^2=0$ であるが $x\neq 1$）
(2) 真．対偶「$x\leqq 1$ かつ $y\leqq 1$ ならば $x+y\leqq 2$」を示す．$x\leqq 1$，$y\leqq 1$ を辺々加えると $x+y\leqq 2$．対偶が真であるから，もとの命題も真．
(3) 偽．反例 $x=y=\sqrt{2}$（$xy=2$ は有理数）
(4) 真．対偶「$n$ が $3$ の倍数でないならば $n^2$ は $3$ の倍数でない」を示す．$n$ が $3$ の倍数でないとき，整数 $k$ を用いて $n=3k\pm 1$ と表せ
\[ n^2=9k^2\pm 6k+1=3(3k^2\pm 2k)+1 \]
となり，$n^2$ は $3$ の倍数でない．よってもとの命題も真．
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