集合の包含で真偽を判定する（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 集合の包含で真偽を判定する（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$x$ は実数とする．条件 $p$，$q$，$r$ を
\[ p:\ |x-1|\leqq 2,\qquad q:\ 0\leqq x\leqq 4,\qquad r:\ x^2-4x+3<0 \]
とする．次の命題の真偽を，集合を用いて調べよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $p\Rightarrow q$
\item[(2)] $q\Rightarrow p$
\item[(3)] $r\Rightarrow p$
\end{enumerate}
$p$，$q$，$r$ を満たす $x$ 全体の集合を $P$，$Q$，$R$ とする．
$|x-1|\leqq 2$ より $-1\leqq x\leqq 3$．$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)<0$ より $1<x<3$．よって
\[ P=\{x \mid -1\leqq x\leqq 3\},\quad Q=\{x \mid 0\leqq x\leqq 4\},\quad R=\{x \mid 1<x<3\} \]
(1) $P\subset Q$ ではない．反例 $x=-1$．偽
(2) $Q\subset P$ ではない．反例 $x=4$．偽
(3) $R\subset P$ であるから真
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