対称式・交代式を利用して高次の式の値を求める（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 対称式・交代式を利用して高次の式の値を求める（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
実数 $a$，$b$ が $a+b=\sqrt{5}$，$ab=1$，$a>b$ を満たすとき，次の式の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a^2+b^2$
\item[(2)] $a-b$
\item[(3)] $a^3-b^3$
\item[(4)] $a^4-b^4$
\end{enumerate}
(1) $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5-2=3$
(2) $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=5-4=1$ であり，$a>b$ より $a-b=1$
(3) $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)=1\cdot(3+1)=4$
(4) $a^4-b^4=(a^2+b^2)(a+b)(a-b)=3\cdot\sqrt{5}\cdot 1=3\sqrt{5}$
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