対称式・交代式を利用して高次の式の値を求める（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 対称式・交代式を利用して高次の式の値を求める（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$x=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $x^2$ の値を求めよ．
\item[(2)] $x+\dfrac{1}{x}$ の値を求めよ．
\item[(3)] $x^4+\dfrac{1}{x^4}$ の値を求めよ．
\item[(4)] $x^8-14x^4+1$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $x^2=\dfrac{6+2\sqrt{12}+2}{4}=\dfrac{8+4\sqrt{3}}{4}=2+\sqrt{3}$
(2) $\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\dfrac{2(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ であるから $x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{6}$
(3) $\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$ より $x^2+\dfrac{1}{x^2}=4$ であるから
\[ x^4+\frac{1}{x^4}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2=14 \]
(4) (3) の両辺に $x^4$ を掛けると $x^8+1=14x^4$ であるから
\[ x^8-14x^4+1=0 \]
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