対称式を利用し，符号に注意して式の値を求める（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 対称式を利用し，符号に注意して式の値を求める（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$x>1$ とする．$x^2+\dfrac{1}{x^2}=7$ のとき，次の式の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $x+\dfrac{1}{x}$
\item[(2)] $x-\dfrac{1}{x}$
\item[(3)] $x^3-\dfrac{1}{x^3}$
\end{enumerate}
(1) $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}+2=9$ であり，$x>1$ より $x+\dfrac{1}{x}>0$ であるから $x+\dfrac{1}{x}=3$
(2) $\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2=x^2+\dfrac{1}{x^2}-2=5$ であり，$x>1$ より $x>\dfrac{1}{x}$ であるから $x-\dfrac{1}{x}=\sqrt{5}$
(3) $x^3-\dfrac{1}{x^3}=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^3+3\left(x-\dfrac{1}{x}\right)=5\sqrt{5}+3\sqrt{5}=8\sqrt{5}$
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