対称式を利用し，符号に注意して式の値を求める（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 対称式を利用し，符号に注意して式の値を求める（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
$x=\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$，$y=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$ のとき，次の式の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $x^2+y^2$
\item[(2)] $x^3+y^3$
\item[(3)] $\sqrt{x}+\sqrt{y}$
\end{enumerate}
分母を有理化すると
\[ x=\frac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}{4}=\frac{10+2\sqrt{21}}{4}=\frac{5+\sqrt{21}}{2},\quad y=\frac{5-\sqrt{21}}{2} \]
よって $x+y=5$，$xy=\dfrac{25-21}{4}=1$
(1) $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=25-2=23$
(2) $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=125-15=110$
(3) $\sqrt{21}<5$ より $x>0$，$y>0$ であるから，$\sqrt{x}+\sqrt{y}>0$ であり
\[ (\sqrt{x}+\sqrt{y})^2=x+y+2\sqrt{xy}=5+2=7 \]
よって $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{7}$
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