x+1/x を利用して式の値を求める（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: x+1/x を利用して式の値を求める（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$x=2+\sqrt{3}$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $x^2-4x+1$ の値を求めよ．
\item[(2)] $x^4-4x^3+x^2+2x+3$ の値を求めよ．
\item[(3)] $x^2+\dfrac{1}{x^2}$ の値を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $x-2=\sqrt{3}$ の両辺を 2 乗すると $x^2-4x+4=3$，すなわち $x^2-4x+1=0$
(2) $x^4-4x^3+x^2=x^2(x^2-4x+1)=0$ であるから
\[ x^4-4x^3+x^2+2x+3=2x+3=2(2+\sqrt{3})+3=7+2\sqrt{3} \]
(3) $\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$ より $x+\dfrac{1}{x}=4$ であるから
\[ x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=14 \]
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