x+1/x を利用して式の値を求める（A）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: x+1/x を利用して式の値を求める（B） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
$x=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$ のとき，次の式の値を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $x+\dfrac{1}{x}$
\item[(2)] $x^2+\dfrac{1}{x^2}$
\item[(3)] $x^3+\dfrac{1}{x^3}$
\end{enumerate}
(1) $\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}=\dfrac{2(\sqrt{5}-1)}{4}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ であるから
\[ x+\frac{1}{x}=\sqrt{5} \]
(2) $x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-2=5-2=3$
(3) $x^3+\dfrac{1}{x^3}=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\dfrac{1}{x}\right)=5\sqrt{5}-3\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
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