a³+b³+c³−3abc の因数分解と利用（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: a³+b³+c³−3abc の因数分解と利用（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
\begin{enumerate}
\item[(1)] $x^3-8y^3+z^3+6xyz$ を因数分解せよ．
\item[(2)] $a+b+c=0$ のとき，$a^3+b^3+c^3=3abc$ が成り立つことを示せ．また，$(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3$ を因数分解せよ．
\end{enumerate}
$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を用いる．
(1) $x^3+(-2y)^3+z^3-3\cdot x\cdot(-2y)\cdot z$ であるから，$a=x$，$b=-2y$，$c=z$ として
\[ (x-2y+z)(x^2+4y^2+z^2+2xy+2yz-zx) \]
(2) $a+b+c=0$ ならば上の公式の右辺が $0$ になるので $a^3+b^3+c^3-3abc=0$，すなわち $a^3+b^3+c^3=3abc$ である．
$a=x-y$，$b=y-z$，$c=z-x$ とおくと $a+b+c=0$ であるから
\[ (x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3=3(x-y)(y-z)(z-x) \]
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