a³+b³+c³−3abc の因数分解と利用（A）

(1) $a+b=s$ とおくと $a^3+b^3=s^3-3abs$ であるから \begin{align*} a^3+b^3+c^3-3abc&=s^3+c^3-3ab(s+c)\\ &=(s+c)(s^2-sc+c^2)-3ab(s+c)\\ &=(s+c)(s^2-sc+c^2-3ab) \end{align*} $s=a+b$ を戻すと $s^2-sc+c^2-3ab=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$ であるから \[ a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) \] (2) $x^3+y^3+1^3-3\cdot x\cdot y\cdot 1$ であるから，(1) で $a=x$，$b=y$，$c=1$ として \[ (x+y+1)(x^2+y^2-xy-x-y+1) \]