3文字の式を1つの文字について整理して因数分解する（発展）（B）

$a$ について整理すると \[ (b-c)a^3-(b^3-c^3)a+bc(b^2-c^2) \] $b^3-c^3=(b-c)(b^2+bc+c^2)$，$b^2-c^2=(b-c)(b+c)$ より \[ (b-c)\{a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)\} \] 中かっこの中を $b$ について整理すると \begin{align*} a^3-(b^2+bc+c^2)a+bc(b+c)&=(c-a)b^2+(c^2-ac)b+a^3-ac^2\\ &=(c-a)b^2+c(c-a)b-a(c-a)(c+a)\\ &=(c-a)\{b^2+cb-a(c+a)\}\\ &=(c-a)(b-a)(b+a+c) \end{align*} よって \[ (b-c)(c-a)(b-a)(a+b+c)=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) \]