3文字の式を1つの文字について整理して因数分解する（発展）（A）

$a$ について整理する． \begin{align*} (a+b+c)(ab+bc+ca)&=\{a+(b+c)\}\{(b+c)a+bc\}\\ &=(b+c)a^2+\{(b+c)^2+bc\}a+bc(b+c) \end{align*} であるから \begin{align*} (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc&=(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c)\\ &=(b+c)\{a^2+(b+c)a+bc\}\\ &=(b+c)(a+b)(a+c) \end{align*} よって $(a+b)(b+c)(c+a)$ 後半は，$a=x$，$b=y$，$c=2$ とおくと $ab+bc+ca=xy+2y+2x$，$abc=2xy$ であるから \[ (x+y+2)(xy+2x+2y)-2xy=(x+y)(y+2)(x+2) \]