a, b, c の対称式・交代式の因数分解（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: a, b, c の対称式・交代式の因数分解（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の式を因数分解せよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)$
\item[(2)] $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$
\end{enumerate}
(1) $a$ について整理すると
\begin{align*}
&-(b-c)a^2+(b^2-c^2)a-bc(b-c)\\
&=-(b-c)\{a^2-(b+c)a+bc\}\\
&=-(b-c)(a-b)(a-c)\\
&=(a-b)(b-c)(c-a)
\end{align*}
(2) $a$ について整理する．$(b+c)(a+b)(a+c)=(b+c)\{a^2+(b+c)a+bc\}$ であるから
\begin{align*}
&(b+c)a^2+(b+c)^2a+bc(b+c)+abc\\
&=(b+c)a^2+\{(b+c)^2+bc\}a+bc(b+c)
\end{align*}
たすき掛けで $(b+c)\cdot(b+c)+1\cdot bc$ と見ると
\[ \{(b+c)a+bc\}\{a+(b+c)\}=(a+b+c)(ab+bc+ca) \]
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