4つの積を組み直して因数分解する（A）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/23
🔁 類題: 4つの積を組み直して因数分解する（B） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
次の式を因数分解せよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15$
\item[(2)] $(x^2-4x)(x^2-4x-1)-6$
\end{enumerate}
(1) $1+7=3+5=8$ に着目して組み合わせると
\[ (x+1)(x+7)\times(x+3)(x+5)+15=(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)+15 \]
$x^2+8x=A$ とおくと
\[ (A+7)(A+15)+15=A^2+22A+120=(A+10)(A+12) \]
よって
\[ (x^2+8x+10)(x^2+8x+12)=(x^2+8x+10)(x+2)(x+6) \]
$x^2+8x+10$ は有理数の範囲ではこれ以上因数分解できない．
(2) $x^2-4x=A$ とおくと
\[ A(A-1)-6=A^2-A-6=(A+2)(A-3) \]
よって
\[ (x^2-4x+2)(x^2-4x-3) \]
どちらの 2 次式も有理数の範囲ではこれ以上因数分解できない．
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