4つの式の積を2つずつ組んで展開する（B）

(1) 組み合わせを考えて \begin{align*} (a+b+c)(a-b-c)&=\{a+(b+c)\}\{a-(b+c)\}=a^2-(b+c)^2\\ (a-b+c)(a+b-c)&=\{a-(b-c)\}\{a+(b-c)\}=a^2-(b-c)^2 \end{align*} よって \begin{align*} \{a^2-(b+c)^2\}\{a^2-(b-c)^2\}&=a^4-a^2\{(b+c)^2+(b-c)^2\}+\{(b+c)(b-c)\}^2\\ &=a^4-2a^2(b^2+c^2)+(b^2-c^2)^2\\ &=a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2 \end{align*} (2) $(x^2+y^2+xy)(x^2+y^2-xy)=(x^2+y^2)^2-x^2y^2=x^4+x^2y^2+y^4$ であるから \[ (x^4+x^2y^2+y^4)(x^4-x^2y^2+y^4)=(x^4+y^4)^2-x^4y^4=x^8+x^4y^4+y^8 \]