極座標の2点の距離と原点を含む三角形の面積（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 極座標の2点の距離と原点を含む三角形の面積（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
極座標で表された点について，次のものを求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 2 点 $\mathrm{A}\left(4,\,\dfrac{\pi}{3}\right)$，$\mathrm{B}\left(2,\,\dfrac{5}{6}\pi\right)$ 間の距離
\item[(2)] 3 点 $\mathrm{P}\left(2,\,\dfrac{\pi}{6}\right)$，$\mathrm{Q}\left(3,\,\dfrac{\pi}{2}\right)$，$\mathrm{R}\left(4,\,\dfrac{7}{6}\pi\right)$ を頂点とする $\triangle\mathrm{PQR}$ の面積
\end{enumerate}
(1) $\angle\mathrm{AOB}=\dfrac{5}{6}\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}$ であるから，三平方の定理より $\mathrm{AB}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$
(2) $\mathrm{P}$ と $\mathrm{R}$ の偏角の差は $\pi$ であるから，極 $\mathrm{O}$ は線分 $\mathrm{PR}$ 上にある．また，$\angle\mathrm{POQ}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}$，$\angle\mathrm{QOR}=\dfrac{7}{6}\pi-\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{2}{3}\pi$ であるから
\[ \triangle\mathrm{PQR}=\triangle\mathrm{OPQ}+\triangle\mathrm{OQR}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\sin\frac{\pi}{3}+\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\sin\frac{2}{3}\pi=\frac{3\sqrt{3}}{2}+3\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2} \]
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