極座標の2点の距離と原点を含む三角形の面積（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 極座標の2点の距離と原点を含む三角形の面積（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
極座標で表された 2 点 $\mathrm{A}\left(3,\,\dfrac{\pi}{6}\right)$，$\mathrm{B}\left(4,\,\dfrac{\pi}{2}\right)$ と極 $\mathrm{O}$ について，次のものを求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 線分 $\mathrm{AB}$ の長さ
\item[(2)] $\triangle\mathrm{OAB}$ の面積
\end{enumerate}
$\angle\mathrm{AOB}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}$ である．
(1) 余弦定理より
\[ \mathrm{AB}^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cos\frac{\pi}{3}=25-12=13 \]
よって $\mathrm{AB}=\sqrt{13}$
(2) $\triangle\mathrm{OAB}=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\sin\dfrac{\pi}{3}=3\sqrt{3}$
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