外側を転がる円の点の軌跡（エピサイクロイド）（B）
★★★☆☆☆☆（共通テスト） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 外側を転がる円の点の軌跡（エピサイクロイド）（A） （★★★☆☆☆☆（共通テスト））
問題
原点を中心とする半径 $2$ の定円に外接しながら，半径 $1$ の円 $\mathrm{C}$ がすべらずに回転する．円 $\mathrm{C}$ 上の定点 $\mathrm{P}$ は，はじめ点 $(2,\,0)$ にあり，円 $\mathrm{C}$ の中心ははじめ $(3,\,0)$ にあったとする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 円 $\mathrm{C}$ の中心と原点を結ぶ線分が $x$ 軸の正の向きとなす角が $\theta$ のとき，点 $\mathrm{P}$ の座標を $\theta$ で表せ．
\item[(2)] $0\leqq\theta<2\pi$ において，点 $\mathrm{P}$ が定円上にあるときの $\theta$ と，そのときの $\mathrm{P}$ の座標を求めよ．
\end{enumerate}
(1) 円 $\mathrm{C}$ の中心は $(3\cos\theta,\,3\sin\theta)$．接点を $\mathrm{T}$ とすると，弧の長さが等しいから $2\theta=1\cdot\angle\mathrm{TCP}$ で $\angle\mathrm{TCP}=2\theta$
$\overrightarrow{\mathrm{CT}}$ の向きは $\theta+\pi$，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$ の向きは，$\overrightarrow{\mathrm{CT}}$ の向きから正の向きに $2\theta$ だけ回転した $\theta+\pi+2\theta=3\theta+\pi$ であるから
\[ x=3\cos\theta-\cos 3\theta,\qquad y=3\sin\theta-\sin 3\theta \]
(2) $\mathrm{P}$ が定円上にあるのは $\mathrm{P}=\mathrm{T}$，すなわち $\overrightarrow{\mathrm{CP}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{CT}}$ の向きが一致するときで
\[ 3\theta+\pi=\theta+\pi+2k\pi \quad\text{より}\quad \theta=k\pi \]
$0\leqq\theta<2\pi$ より $\theta=0,\ \pi$．$\mathrm{P}$ の座標は $(2,\,0)$，$(-2,\,0)$
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