外側を転がる円の点の軌跡（エピサイクロイド）（A）

円 $\mathrm{C}$ の中心を $\mathrm{C}$ とすると $\mathrm{C}(2\cos\theta,\,2\sin\theta)$ である． 2 円の接点を $\mathrm{T}$ とすると，すべらずに転がるから，定円上の弧の長さと円 $\mathrm{C}$ 上の弧 $\mathrm{TP}$ の長さが等しく，$1\cdot\theta=1\cdot\angle\mathrm{TCP}$ より $\angle\mathrm{TCP}=\theta$ $\overrightarrow{\mathrm{CT}}$ の向きは $x$ 軸の正の向きから $\theta+\pi$ であり，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$ はそこからさらに正の向きに $\theta$ だけ回転した向き（下の図）であるから，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$ の向きは $2\theta+\pi$ \[ \overrightarrow{\mathrm{CP}}=(\cos(2\theta+\pi),\,\sin(2\theta+\pi))=(-\cos 2\theta,\,-\sin 2\theta) \] よって \[ x=2\cos\theta-\cos 2\theta,\qquad y=2\sin\theta-\sin 2\theta \] （$\theta=0$ で $(1,\,0)$ となり，はじめの位置に一致する．この曲線はカージオイドである．）