媒介変数を含む直線が接する曲線と通過範囲（B）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 媒介変数を含む直線が接する曲線と通過範囲（A） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
$t$ を実数の媒介変数とする直線 $\ell_t:y=2tx-t^2$ について，次の問いに答えよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] $\ell_t$ は放物線 $y=x^2$ に接することを示せ．
\item[(2)] $t$ が実数全体を動くとき，直線 $\ell_t$ が通過する点全体の範囲を求めよ．
\end{enumerate}
(1) $y=x^2$ と $y=2tx-t^2$ から $y$ を消去すると $x^2-2tx+t^2=0$，すなわち $(x-t)^2=0$ で重解 $x=t$ をもつ．よって $\ell_t$ は放物線 $y=x^2$ に点 $(t,\,t^2)$ で接する．
(2) 点 $(a,\,b)$ を $\ell_t$ が通る条件は，$t$ の 2 次方程式 $t^2-2at+b=0$ が実数解をもつこと．
この 2 次方程式の判別式を $D$ とすると
\[ \frac{D}{4}=a^2-b\geqq 0 \quad\text{すなわち}\quad b\leqq a^2 \]
よって通過範囲は $y\leqq x^2$（放物線 $y=x^2$ とその下側，境界を含む）
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