楕円の内部での2次式の最大・最小（B）

領域内の点 $(x,\,y)$（$\neq(0,\,0)$）に対し，原点から同じ向きに延ばした楕円上の点を $(kx,\,ky)$（$k\geqq 1$）とすると，その点での値は $k^2xy$ で，$|xy|$ 以上の絶対値をもつ．よって最大値・最小値は境界の楕円上でとる． 楕円上の点は $x=2\cos\theta$，$y=\sin\theta$（$0\leqq\theta<2\pi$）と表されるから \[ xy=2\sin\theta\cos\theta=\sin 2\theta \] $0\leqq 2\theta<4\pi$ であり，$-1\leqq\sin 2\theta\leqq 1$ であるから 最大値 $1$：$2\theta=\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{5}{2}\pi$ より $\theta=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{5}{4}\pi$．$(x,\,y)=\left(\sqrt{2},\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$，$\left(-\sqrt{2},\,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 最小値 $-1$：$\theta=\dfrac{3}{4}\pi,\ \dfrac{7}{4}\pi$．$(x,\,y)=\left(-\sqrt{2},\,\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$，$\left(\sqrt{2},\,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$