楕円の内部での2次式の最大・最小（A）

$f=x^2+y^2+2x=(x+1)^2+y^2-1$ である．$(x+1)^2+y^2$ は点 $\mathrm{A}(-1,\,0)$ と点 $(x,\,y)$ の距離の 2 乗である． 最小値：$\mathrm{A}$ は領域内にあるから，$(x,\,y)=(-1,\,0)$ のとき距離は $0$ で，$f$ の最小値は $-1$ 最大値：$x$ を固定すると，$f$ は $y^2$ が大きいほど大きい．領域内では $y^2\leqq 1-\dfrac{x^2}{4}$（$-2\leqq x\leqq 2$）であるから，最大値は $y^2=1-\dfrac{x^2}{4}$ のとき，すなわち境界の楕円上でとる．$y^2=1-\dfrac{x^2}{4}$ を代入して \[ f=x^2+1-\frac{x^2}{4}+2x=\frac{3}{4}x^2+2x+1=\frac{3}{4}\left(x+\frac{4}{3}\right)^2-\frac{1}{3} \] $-2\leqq x\leqq 2$ では $x=2$ のとき最大で，$f=3+4+1=8$（$y=0$） よって最大値 $8$（$(x,\,y)=(2,\,0)$），最小値 $-1$（$(x,\,y)=(-1,\,0)$）