楕円の周および内部での1次式の最大・最小（B）

$2x+3y=k$ とおくと，直線は傾き $-\dfrac{2}{3}$ で，$k$ が大きいほど右上にある．領域の内部の点 $(x_0,\,y_0)$ に対しては，$x$ 座標を少し増やした点や少し減らした点も領域内にあり，そこでの $2x+3y$ の値はそれぞれ大きく，小さくなるから，内部の点で最大・最小となることはない．よって，最大・最小は領域の境界上でとる． (i) 境界の楕円部分：$x=3\cos\theta$，$y=2\sin\theta$（$0\leqq\theta\leqq\pi$）とおくと \[ 2x+3y=6\cos\theta+6\sin\theta=6\sqrt{2}\sin\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) \] $\dfrac{\pi}{4}\leqq\theta+\dfrac{\pi}{4}\leqq\dfrac{5}{4}\pi$ より，最大値 $6\sqrt{2}$（$\theta=\dfrac{\pi}{4}$），最小値 $6\sqrt{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-6$（$\theta=\pi$） (ii) 境界の線分部分：$y=0$，$-3\leqq x\leqq 3$ で $2x$ は $-6$ 以上 $6$ 以下． 以上より，最大値 $6\sqrt{2}$（$x=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$，$y=\sqrt{2}$ のとき），最小値 $-6$（$x=-3$，$y=0$ のとき）