楕円の周および内部での1次式の最大・最小（A）

$x+y=k$ とおくと，これは傾き $-1$，$y$ 切片 $k$ の直線である．この直線が領域と共有点をもつような $k$ の最大・最小を求めればよい．$k$ が最大・最小となるのは，直線が楕円 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ に接するときである． $y=k-x$ を代入して $\dfrac{x^2}{4}+(k-x)^2=1$，整理して $5x^2-8kx+4k^2-4=0$ この $x$ の 2 次方程式の判別式を $D$ とすると，接する条件は $\dfrac{D}{4}=16k^2-5(4k^2-4)=-4k^2+20=0$ より $k=\pm\sqrt{5}$ 接点の $x$ 座標は $x=\dfrac{4k}{5}$ であるから $k=\sqrt{5}$ のとき $x=\dfrac{4}{\sqrt{5}}$，$y=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$；$k=-\sqrt{5}$ のとき $x=-\dfrac{4}{\sqrt{5}}$，$y=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ よって，$x+y$ は $x=\dfrac{4}{\sqrt{5}}$，$y=\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ のとき最大値 $\sqrt{5}$，$x=-\dfrac{4}{\sqrt{5}}$，$y=-\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ のとき最小値 $-\sqrt{5}$ をとる．