2次曲線上の点からの距離に関する証明（B）

漸近線は $bx-ay=0$，$bx+ay=0$ である．$\mathrm{P}(x_0,\,y_0)$ からの距離をそれぞれ $d_1$，$d_2$ とすると \[ d_1d_2=\frac{|bx_0-ay_0|}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot\frac{|bx_0+ay_0|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|b^2x_0^2-a^2y_0^2|}{a^2+b^2} \] $\mathrm{P}$ は双曲線上にあるから，$\dfrac{x_0^2}{a^2}-\dfrac{y_0^2}{b^2}=1$ の両辺に $a^2b^2$ を掛けて $b^2x_0^2-a^2y_0^2=a^2b^2$．よって \[ d_1d_2=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2} \] これは $\mathrm{P}$ によらない一定の値である． \hfill 終