2次曲線上の点からの距離に関する証明（A）

$y^2=b^2\left(1-\dfrac{x^2}{a^2}\right)$ であるから \[ \mathrm{PF}^2=(x-c)^2+y^2=x^2-2cx+c^2+b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2=\frac{a^2-b^2}{a^2}x^2-2cx+a^2 \] （$c^2+b^2=a^2$ を用いた．）$\dfrac{a^2-b^2}{a^2}=\dfrac{c^2}{a^2}$ より \[ \mathrm{PF}^2=\frac{c^2}{a^2}x^2-2cx+a^2=\left(a-\frac{c}{a}x\right)^2 \] $|x|\leqq a$，$0<c<a$ より $a-\dfrac{c}{a}x\geqq a-c>0$ であるから $\mathrm{PF}=a-\dfrac{c}{a}x$ 同様に $\mathrm{PF'}^2=(x+c)^2+y^2=\left(a+\dfrac{c}{a}x\right)^2$ で，$a+\dfrac{c}{a}x>0$ より $\mathrm{PF'}=a+\dfrac{c}{a}x$ よって $\mathrm{PF}+\mathrm{PF'}=2a$ \hfill 終