2次曲線に直交する2接線を引ける点の軌跡（A）

$\mathrm{P}(p,\,q)$ とする． (i) $p\neq\pm 2$ のとき，$\mathrm{P}$ を通る接線は $y$ 軸に平行でないので $y=m(x-p)+q$ とおける．楕円の方程式に代入して整理すると \[ (1+4m^2)x^2+8m(q-mp)x+4(q-mp)^2-4=0 \] この $x$ の 2 次方程式の判別式を $D$ とすると，接する条件は $\dfrac{D}{4}=16m^2(q-mp)^2-(1+4m^2)\{4(q-mp)^2-4\}=0$ で，整理すると \[ (q-mp)^2=4m^2+1 \quad\text{すなわち}\quad (p^2-4)m^2-2pqm+q^2-1=0 \] 2 本の接線の傾き $m_1$，$m_2$ はこの 2 次方程式の 2 解であり，直交する条件は $m_1m_2=-1$．解と係数の関係より \[ \frac{q^2-1}{p^2-4}=-1 \quad\text{すなわち}\quad p^2+q^2=5 \] 逆に，$p^2+q^2=5$（$p\neq\pm 2$）のとき，$m$ の 2 次方程式の 2 解の積は $\dfrac{q^2-1}{p^2-4}=-1<0$ であるから，この方程式は異なる 2 つの実数解 $m_1$，$m_2$ をもち，$m_1m_2=-1$ となる．よって，直交する 2 本の接線が引ける． (ii) $p=\pm 2$ のとき，接線の一方は $x=\pm 2$ で，それに直交する接線は $y=\pm 1$．交点は $(\pm 2,\,\pm 1)$ で，これも $p^2+q^2=5$ を満たす． よって求める軌跡は円 $x^2+y^2=5$