双曲線上の点から直線までの距離（A）

$\ell$ の傾きは $2$ で，漸近線の傾き $\pm 1$ より急であるから，$\ell$ は双曲線と交わらない（$x^2-4x^2=1$ は実数解をもたない）． $\mathrm{P}(x_0,\,y_0)$ と $\ell$ の距離は $\dfrac{|2x_0-y_0|}{\sqrt{5}}$ である．$2x_0-y_0=k$ とおくと，$\mathrm{P}$ は $\ell$ に平行な直線 $2x-y=k$ と双曲線の共有点である．$y=2x-k$ を $x^2-y^2=1$ に代入して整理すると \[ 3x^2-4kx+k^2+1=0 \] この 2 次方程式の判別式を $D$ とすると，共有点をもつ条件は \[ \frac{D}{4}=4k^2-3(k^2+1)=k^2-3\geqq 0 \quad\text{すなわち}\quad |k|\geqq\sqrt{3} \] よって，距離が最小となるのは $|k|=\sqrt{3}$ のとき，すなわち直線 $2x-y=k$ が双曲線に接するときであり，このとき $\mathrm{P}$ における接線は $\ell$ に平行である． $\mathrm{P}(x_0,\,y_0)$ における接線 $x_0x-y_0y=1$ の傾きは $\dfrac{x_0}{y_0}$（$y_0\neq 0$）であるから \[ \frac{x_0}{y_0}=2 \quad\text{すなわち}\quad x_0=2y_0 \] $x_0^2-y_0^2=1$ に代入して $3y_0^2=1$，$y_0=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}$，$x_0=\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}$（複号同順） このとき距離は \[ \frac{|2x_0-y_0|}{\sqrt{5}}=\frac{\frac{3}{\sqrt{3}}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5} \] よって最小値 $\dfrac{\sqrt{15}}{5}$，$\mathrm{P}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},\,\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$，$\left(-\dfrac{2}{\sqrt{3}},\,-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$ （点 $\mathrm{P}$ は限りなく遠くへ行けるので，距離に最大値はない．）