接線の式を導き性質を示す（B）
★★☆☆☆☆☆（章末問題） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 接線の式を導き性質を示す（A） （★★☆☆☆☆☆（章末問題））
問題
放物線 $y^2=4px$（$p>0$）上の原点以外の点 $\mathrm{P}(x_0,\,y_0)$ における接線が $x$ 軸と交わる点を $\mathrm{T}$，焦点を $\mathrm{F}$ とする．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 接線の方程式は $y_0y=2p(x+x_0)$ であることを用いて，$\mathrm{T}$ の座標を求めよ．
\item[(2)] $\mathrm{FP}=\mathrm{FT}$ であることを証明せよ．
\end{enumerate}
(1) $y=0$ とすると $0=2p(x+x_0)$ より $x=-x_0$．$\mathrm{T}(-x_0,\,0)$
(2) $\mathrm{P}$ は原点以外の点であるから $x_0=\dfrac{y_0^2}{4p}>0$
$\mathrm{F}(p,\,0)$，$\mathrm{T}(-x_0,\,0)$ であるから $\mathrm{FT}=p-(-x_0)=p+x_0$
放物線の定義より，$\mathrm{FP}$ は $\mathrm{P}$ と準線 $x=-p$ の距離に等しいから $\mathrm{FP}=x_0+p$
よって $\mathrm{FP}=\mathrm{FT}$ \hfill 終
（$\triangle\mathrm{FPT}$ は $\mathrm{FP}=\mathrm{FT}$ の二等辺三角形であるから，$\angle\mathrm{FPT}=\angle\mathrm{FTP}$ である．よって，$\mathrm{P}$ を通り $x$ 軸に平行な直線と直線 $\mathrm{PF}$ は，$\mathrm{P}$ における接線と等しい角をなす．）
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