接線の式を導き性質を示す（A）

$y$ を $x$ の関数とみて，楕円の方程式の両辺を $x$ で微分すると \[ \frac{2x}{a^2}+\frac{2y}{b^2}\cdot\frac{dy}{dx}=0 \] (i) $y_0\neq 0$ のとき，点 $\mathrm{P}$ における接線の傾きは $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{b^2x_0}{a^2y_0}$．よって接線は \[ y-y_0=-\frac{b^2x_0}{a^2y_0}(x-x_0) \] 両辺に $\dfrac{y_0}{b^2}$ を掛けて整理すると \[ \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1 \] （$\mathrm{P}$ は楕円上の点であることを用いた．） (ii) $y_0=0$ のとき，$x_0=\pm a$ で，接線は $x=\pm a$．これは $\dfrac{x_0x}{a^2}=1$ と一致する． よって，いずれの場合も接線は $\dfrac{x_0x}{a^2}+\dfrac{y_0y}{b^2}=1$ である． \hfill 終