2次曲線の弦の中点の軌跡（B）

(i) 直線が $x=1$ のとき，交点は $(1,\,\pm 2)$ で，中点は $(1,\,0)$ (ii) 直線が $y=m(x-1)$（$m\neq 0$）のとき，代入して \[ m^2(x-1)^2=4x \quad\text{すなわち}\quad m^2x^2-(2m^2+4)x+m^2=0 \] この $x$ の 2 次方程式の判別式を $D$ とすると $\dfrac{D}{4}=(m^2+2)^2-m^4=4m^2+4>0$ で，つねに 2 点で交わる．中点 $\mathrm{M}(X,\,Y)$ は \[ X=\frac{m^2+2}{m^2}=1+\frac{2}{m^2},\qquad Y=m(X-1)=\frac{2}{m} \] $\dfrac{1}{m}=\dfrac{Y}{2}$ を代入すると $X=1+\dfrac{Y^2}{2}$，すなわち $Y^2=2(X-1)$ ここで，$m$ が 0 以外のすべての実数値をとるとき，$Y=\dfrac{2}{m}$ は 0 以外のすべての実数値をとるから，(ii) の点 $\mathrm{M}$ の軌跡は放物線 $y^2=2(x-1)$ の $y\neq 0$ の部分である． （$m=0$ のときは放物線と 1 点でしか交わらない．） (i) の点 $(1,\,0)$ もこの放物線上にあるから，求める軌跡は放物線 $y^2=2(x-1)$