2次曲線の弦の中点の軌跡（A）

代入して $5x^2+8kx+4k^2-4=0$．この $x$ の 2 次方程式の判別式を $D$ とすると，異なる 2 点で交わる条件は $\dfrac{D}{4}=-4(k^2-5)>0$，すなわち $-\sqrt{5}<k<\sqrt{5}$ 中点を $(X,\,Y)$ とすると，解と係数の関係より \[ X=\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{8k}{5}\right)=-\frac{4k}{5},\qquad Y=X+k=\frac{k}{5} \] $k=-\dfrac{5X}{4}$ より $Y=-\dfrac{X}{4}$．また $-\sqrt{5}<k<\sqrt{5}$ より $-\dfrac{4}{\sqrt{5}}<X<\dfrac{4}{\sqrt{5}}$ よって求める軌跡は，直線 $y=-\dfrac{1}{4}x$ の $-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}<x<\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$ の部分