2次曲線が直線から切り取る弦の中点と長さ（A）

代入して $x^2+4(x+1)^2=4$，整理すると $5x^2+8x=0$ 2 つの解を $\alpha$，$\beta$ とすると，解と係数の関係より $\alpha+\beta=-\dfrac{8}{5}$，$\alpha\beta=0$ 中点の $x$ 座標は $\dfrac{\alpha+\beta}{2}=-\dfrac{4}{5}$，$y$ 座標は $-\dfrac{4}{5}+1=\dfrac{1}{5}$．中点は $\left(-\dfrac{4}{5},\,\dfrac{1}{5}\right)$ 直線の傾きは $1$ であるから \[ \mathrm{AB}=\sqrt{1+1^2}\,|\alpha-\beta|=\sqrt{2}\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}=\sqrt{2}\cdot\frac{8}{5}=\frac{8\sqrt{2}}{5} \]