直線の傾きや切片で変わる共有点の個数（B）

代入して $x^2-(mx+1)^2=1$，整理すると \[ (1-m^2)x^2-2mx-2=0 \quad\cdots\text{①} \] (i) $1-m^2=0$，すなわち $m=\pm 1$ のとき，① は $-2mx-2=0$ で $x=-\dfrac{1}{m}$ のただ 1 つの解をもつ．共有点は 1 個（直線は漸近線に平行）． (ii) $m\neq\pm 1$ のとき，① は 2 次方程式である．① の判別式を $D$ とすると \[ \frac{D}{4}=m^2+2(1-m^2)=2-m^2 \] $-\sqrt{2}<m<\sqrt{2}$（$m\neq\pm 1$）のとき 2 個，$m=\pm\sqrt{2}$ のとき 1 個（接する），$m<-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}<m$ のとき 0 個 まとめると \[ \begin{cases} -\sqrt{2}<m<-1,\ -1<m<1,\ 1<m<\sqrt{2}\ \text{のとき}\ 2\ \text{個} \\ m=\pm 1,\ \pm\sqrt{2}\ \text{のとき}\ 1\ \text{個} \\ m<-\sqrt{2},\ \sqrt{2}<m\ \text{のとき}\ 0\ \text{個} \end{cases} \]