2次曲線を原点のまわりに回転した方程式（B）

回転後の曲線上の点を $\mathrm{P}(X,\,Y)$ とし，回転前の点を $\mathrm{Q}(x,\,y)$ とする．複素数平面で考えると，$X+Yi$ は $x+yi$ を $-\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転したものであるから，$x+yi$ は $X+Yi$ を $\dfrac{\pi}{3}$ だけ回転したものである．よって \[ x+yi=(X+Yi)\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)=(X+Yi)\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\frac{X-\sqrt{3}Y}{2}+\frac{\sqrt{3}X+Y}{2}i \] ゆえに $x=\dfrac{X-\sqrt{3}Y}{2}$，$y=\dfrac{\sqrt{3}X+Y}{2}$ このとき \[ x^2=\frac{X^2-2\sqrt{3}XY+3Y^2}{4},\qquad xy=\frac{\sqrt{3}X^2-2XY-\sqrt{3}Y^2}{4},\qquad y^2=\frac{3X^2+2\sqrt{3}XY+Y^2}{4} \] であるから，$3x^2+2\sqrt{3}xy+5y^2=12$ に代入すると \[ \frac{3(X^2-2\sqrt{3}XY+3Y^2)+2\sqrt{3}(\sqrt{3}X^2-2XY-\sqrt{3}Y^2)+5(3X^2+2\sqrt{3}XY+Y^2)}{4}=12 \] \[ \frac{24X^2+8Y^2}{4}=12 \quad\text{すなわち}\quad 6X^2+2Y^2=12 \] よって回転後の曲線は $6X^2+2Y^2=12$，すなわち \[ \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{6}=1 \] したがって $C$ は，楕円 $\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{6}=1$ を原点を中心に $\dfrac{\pi}{3}$ 回転した楕円である．