2次曲線を原点のまわりに回転した方程式（A）

回転後の曲線上の点を $\mathrm{P}(X,\,Y)$ とし，回転前の点を $\mathrm{Q}(x,\,y)$ とする．複素数平面で考えると，$X+Yi$ は $x+yi$ を $\dfrac{\pi}{4}$ 回転したものであるから \[ x+yi=(X+Yi)\left\{\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right\}=\frac{(X+Y)+(Y-X)i}{\sqrt{2}} \] よって $x=\dfrac{X+Y}{\sqrt{2}}$，$y=\dfrac{-X+Y}{\sqrt{2}}$．$x^2-y^2=4$ に代入すると \[ \frac{(X+Y)^2-(Y-X)^2}{2}=4 \quad\text{すなわち}\quad 2XY=4 \] よって求める曲線は $xy=2$（$y=\dfrac{2}{x}$）