2次式を平方完成して2次曲線を調べる（B）

(1) $(x^2+4x)-4(y^2-2y)=4$ より \[ (x+2)^2-4-4(y-1)^2+4=4 \quad\text{すなわち}\quad \frac{(x+2)^2}{4}-(y-1)^2=1 \] 双曲線 $\dfrac{x^2}{4}-y^2=1$ を $x$ 軸方向に $-2$，$y$ 軸方向に $1$ 平行移動したもの． もとの双曲線の焦点は $(\pm\sqrt{4+1},\,0)=(\pm\sqrt{5},\,0)$，漸近線は $y=\pm\dfrac{x}{2}$ であるから 中心 $(-2,\,1)$，焦点 $(-2\pm\sqrt{5},\,1)$，漸近線 $y-1=\pm\dfrac{1}{2}(x+2)$ (2) 中心は 2 焦点の中点 $(4,\,1)$．$2a=10$ より $a=5$，中心と焦点の距離 $c=3$ より $b^2=25-9=16$ よって $\dfrac{(x-4)^2}{25}+\dfrac{(y-1)^2}{16}=1$