2次式を平方完成して2次曲線を調べる（A）

$x$，$y$ についてそれぞれ平方完成すると \[ 4(x^2-4x)+9(y^2+2y)=11 \] \[ 4(x-2)^2-16+9(y+1)^2-9=11 \quad\text{すなわち}\quad 4(x-2)^2+9(y+1)^2=36 \] 両辺を 36 で割って \[ \frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y+1)^2}{4}=1 \] 楕円 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ を $x$ 軸方向に $2$，$y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動した楕円である． もとの楕円の焦点は $(\pm\sqrt{9-4},\,0)=(\pm\sqrt{5},\,0)$ であるから 中心 $(2,\,-1)$，焦点 $(2\pm\sqrt{5},\,-1)$