条件を満たす点の軌跡（双曲線）（A）

$\mathrm{C_1}$，$\mathrm{C_2}$ の中心を $\mathrm{A}(-3,\,0)$，$\mathrm{B}(3,\,0)$ とし，求める円の半径を $r$ とする．外接する条件から \[ \mathrm{PA}=r+3,\qquad \mathrm{PB}=r+1 \] よって $\mathrm{PA}-\mathrm{PB}=2$ で，$\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ を焦点とする双曲線のうち，$\mathrm{B}$ に近い側の枝上にある． $2a=2$ より $a=1$，$c=3$ より $b^2=9-1=8$．よって $\mathrm{P}$ は双曲線 $x^2-\dfrac{y^2}{8}=1$ の $x>0$ の部分にある． 逆に，この部分の点 $\mathrm{P}(x,\,y)$ に対して，$x\geqq 1$，$y^2=8(x^2-1)$ であるから \[ \mathrm{PB}^2=(x-3)^2+8(x^2-1)=9x^2-6x+1=(3x-1)^2 \] よって $\mathrm{PB}=3x-1\geqq 2$ $r=\mathrm{PB}-1$ とおくと $r\geqq 1>0$ で，$\mathrm{PA}=\mathrm{PB}+2=r+3$ となるから，$\mathrm{P}$ を中心とする半径 $r$ の円は $\mathrm{C_1}$，$\mathrm{C_2}$ の両方に外接する． 求める軌跡は双曲線 $x^2-\dfrac{y^2}{8}=1$ の $x>0$ の部分