焦点と距離の差から双曲線を決める（B）

(1) 焦点が $y$ 軸上にあるから $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1$ とおける．頂点から $b=2$，焦点から $a^2+b^2=9$ で $a^2=5$ よって $\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{y^2}{4}=-1$ (2) $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{4-a^2}=1$（$0<a^2<4$）とおく．点 $(\sqrt{3},\,1)$ を通るから \[ \frac{3}{a^2}-\frac{1}{4-a^2}=1 \] 分母を払って $3(4-a^2)-a^2=a^2(4-a^2)$，整理して $a^4-8a^2+12=0$．$(a^2-2)(a^2-6)=0$ で，$0<a^2<4$ より $a^2=2$ よって $\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{2}=1$