焦点と距離の差から双曲線を決める（A）
★☆☆☆☆☆☆（教科書） ／ 作成者: shonan ／ 2026/10/27
🔁 類題: 焦点と距離の差から双曲線を決める（B） （★☆☆☆☆☆☆（教科書））
問題
次の双曲線の方程式を求めよ．
\begin{enumerate}
\item[(1)] 2 点 $(5,\,0)$，$(-5,\,0)$ を焦点とし，焦点からの距離の差が $6$ である双曲線
\item[(2)] 2 直線 $y=2x$，$y=-2x$ を漸近線とし，点 $(2,\,2)$ を通る双曲線
\end{enumerate}
(1) $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ とおくと，$2a=6$ より $a=3$．$a^2+b^2=25$ より $b^2=16$
よって $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$
(2) 漸近線が $y=\pm 2x$ である双曲線は $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{4a^2}=\pm 1$ と表せる．点 $(2,\,2)$ を代入すると
\[ \frac{4}{a^2}-\frac{4}{4a^2}=\frac{3}{a^2}>0 \]
であるから右辺は $+1$ で，$a^2=3$．よって $\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{y^2}{12}=1$
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