条件を満たす点の軌跡（楕円）（A）

$\mathrm{A}(a,\,0)$，$\mathrm{B}(0,\,b)$ とすると $a^2+b^2=9$．$\mathrm{P}(x,\,y)$ は $\mathrm{AB}$ を $1:2$ に内分するから \[ x=\frac{2a}{3},\qquad y=\frac{b}{3} \] よって $a=\dfrac{3x}{2}$，$b=3y$．$a^2+b^2=9$ に代入して \[ \frac{9x^2}{4}+9y^2=9 \quad\text{すなわち}\quad \frac{x^2}{4}+y^2=1 \] 逆に，この楕円上の任意の点 $(x,\,y)$ に対して $a=\dfrac{3x}{2}$，$b=3y$ とおくと $a^2+b^2=9$ であるから，$\mathrm{A}(a,\,0)$，$\mathrm{B}(0,\,b)$ は $\mathrm{AB}=3$ を満たし，点 $(x,\,y)$ は線分 $\mathrm{AB}$ を $1:2$ に内分する点である． よって，求める軌跡は楕円 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$