向きを変えて進む点列と近づく点（B）

(1) 0 でない複素数に $\alpha$ を掛けることは，その複素数を表す点を，原点を中心に $\dfrac{2}{3}\pi$ だけ回転し，原点からの距離を $\dfrac{1}{2}$ 倍することである． $\overrightarrow{\mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n+1}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n}$ の向きを $\dfrac{2}{3}\pi$ だけ回転し，長さを $\dfrac{1}{2}$ 倍したものであるから \[ z_{n+1}-z_n=\alpha(z_n-z_{n-1})\quad(n=1,\,2,\,3,\,\cdots) \] $z_1-z_0=1$ であるから，数列 $\{z_{k+1}-z_k\}$ は初項 $1$，公比 $\alpha$ の等比数列で　$z_{k+1}-z_k=\alpha^k$ $\alpha\neq 1$ であるから \[ z_n=z_0+\sum_{k=0}^{n-1}(z_{k+1}-z_k)=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^k=\frac{1-\alpha^n}{1-\alpha} \] (2) $\alpha=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{4}$ であるから　$1-\alpha=\dfrac{5-\sqrt{3}i}{4}$ 点 $\mathrm{Q}$ を表す複素数を $q=\dfrac{1}{1-\alpha}$ とおくと \[ q=\frac{4}{5-\sqrt{3}i}=\frac{4(5+\sqrt{3}i)}{(5-\sqrt{3}i)(5+\sqrt{3}i)}=\frac{4(5+\sqrt{3}i)}{28}=\frac{5+\sqrt{3}i}{7} \] また，$|1-\alpha|=\dfrac{\sqrt{25+3}}{4}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}$ であるから \[ |z_n-q|=\left|\frac{-\alpha^n}{1-\alpha}\right|=\frac{|\alpha|^n}{|1-\alpha|}=\frac{2}{\sqrt{7}}\left(\frac{1}{2}\right)^n \] $n\to\infty$ のとき $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to 0$ であるから，2 点 $\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}$ の距離は 0 に近づく． したがって，点 $\mathrm{Q}$ を表す複素数は　$\dfrac{5+\sqrt{3}i}{7}$ (3) ド・モアブルの定理より　$\alpha^3=\dfrac{1}{8}(\cos 2\pi+i\sin 2\pi)=\dfrac{1}{8}$ よって \[ z_{3k}=\frac{1-\alpha^{3k}}{1-\alpha}=\left\{1-\left(\frac{1}{8}\right)^k\right\}q \] $1-\left(\dfrac{1}{8}\right)^k$ は実数であるから，点 $\mathrm{P}_{3k}$ は直線 $\mathrm{OQ}$ 上にある（$k=0$ のときは原点）． \hfill 終