向きを変えて進む点列と近づく点（A）

(1) $\alpha=\dfrac{1}{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{2}+i\sin\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{i}{2}$ とおく．0 でない複素数に $\alpha$ を掛けることは，その複素数を表す点を，原点を中心に $\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転し，原点からの距離を $\dfrac{1}{2}$ 倍することである． $\overrightarrow{\mathrm{P}_n\mathrm{P}_{n+1}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{P}_{n-1}\mathrm{P}_n}$ の向きを $\dfrac{\pi}{2}$ だけ回転し，長さを $\dfrac{1}{2}$ 倍したものであるから \[ z_{n+1}-z_n=\alpha(z_n-z_{n-1})\quad(n=1,\,2,\,3,\,\cdots) \] $z_1-z_0=1$ であるから，数列 $\{z_{k+1}-z_k\}$ は初項 $1$，公比 $\alpha$ の等比数列で　$z_{k+1}-z_k=\alpha^k$ $\alpha\neq 1$ であるから \[ z_n=z_0+\sum_{k=0}^{n-1}(z_{k+1}-z_k)=\sum_{k=0}^{n-1}\alpha^k=\frac{1-\alpha^n}{1-\alpha} \] (2) $\beta=\dfrac{1}{1-\alpha}$ とおくと \[ \beta=\frac{1}{1-\frac{i}{2}}=\frac{2}{2-i}=\frac{2(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{4}{5}+\frac{2}{5}i \] また，$|1-\alpha|=\left|1-\dfrac{i}{2}\right|=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ であるから \[ |z_n-\beta|=\left|\frac{-\alpha^n}{1-\alpha}\right|=\frac{|\alpha|^n}{|1-\alpha|}=\frac{2}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{2}\right)^n \] $n\to\infty$ のとき $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to 0$ であるから，2 点 $\mathrm{P}_n$，$\beta$ の距離は 0 に近づく． したがって，点 $\mathrm{P}_n$ が限りなく近づく点を表す複素数は $\dfrac{4}{5}+\dfrac{2}{5}i$ である． (3) $\mathrm{P}_k\mathrm{P}_{k+1}=|z_{k+1}-z_k|=|\alpha|^k=\left(\dfrac{1}{2}\right)^k$ であるから，折れ線の長さの総和は，初項 $1$，公比 $\dfrac{1}{2}$ の無限等比級数である．$\left|\dfrac{1}{2}\right|<1$ であるから収束して，その和は \[ \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 \]